Uma família de matemáticos… texto de Leonard Mlodinow

10 07 2014

 

 

2-the-great-comet-of-1556-science-source xiloXilogravura alemã de 1556 em livro científico retratando a passagem de um cometa.

 

“…E numa outra noite de céu limpo, na porção de terra chamada Basileia, na Suíça, outro homem destinado à grandeza também estava prestando atenção. Era um jovem teólogo que, fitando a cauda brilhante e nebulosa do cometa, deu-se conta de que queria dedicar sua vida à matemática, e não à Igreja. Dessa decisão nasceu não apenas uma nova carreira para Jakob Bernoulli, como também o que se tornaria a maior árvore genealógica na história da matemática: nos 150 anos entre o nascimento de Jakob e o ano de 1800, a família Bernoulli gerou muitos filhos, dos quais aproximadamente a metade foi brilhante — entre eles, oito matemáticos notáveis, dos quais três (Jakob, seu irmão mais moço Johann, e o filho de Johann, Daniel) são tidos atualmente como alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos.

 

Em: O andar do bêbado: como o acaso determina nossas vidas, Leonard Mlodinow, tradução Diego Alfaro, Rio de Janeiro, Zahar: 2009, p. 118

 





A difícil arte da matemática na Grécia antiga, texto de Leonard Mlodinow

13 08 2013

Domenico-Fetti_Archimedes_1620Arquimedes pensativo, 1620

Domenico Fetti (Itália, 1588-1623)

óleo sobre tela, 98 x 73 cm

Galeria de Obras dos Velhos Mestres [Gemaldegalerie Alte Meisters] Dresden

Você reclama das aulas de matemática?  Pois veja a difícil arte da matemática da Grécia antiga:

“…em Atenas, no século V a. C., no ápice da civilização grega, uma pessoa que quisesse escrever um número usava uma espécie de código alfabético. As primeiras nove das 24 letras do alfabeto grego representavam os números que chamamos de 1 a 9. As seguintes nove letras representavam os números que chamamos 10, 20, 30 e assim por diante. E as seis últimas letras, além de três símbolos adicionais, representavam as primeiras nove centenas (100, 200 e assim por diante, até 900). Se você tem problemas com a artimética hoje em dia, imagine como seria subtrair ΔΓΘ de ΩΨΠ! Para complicar ainda mais as coisas, a ordem na qual as unidades, dezenas e centenas eram escritas não importava: às vezes as centenas vinham em primeiro, às vezes em último e às vezes a ordem era ignorada completamente. Para completar, os gregos não tinham zero.

O conceito de zero chegou à Grécia quando Alexandre invadiu o império Babilônico, em 331 a. C. Mesmo então, embora os alexandrinos tenham começado a usar o zero para denotar a ausência de um número, ele não era empregado como um número por si só. Na matemática moderna, o número 0 possui duas propriedades fundamentais: na adição, é o número que, quando somado a qualquer outro, deixa-o inalterado, e na multiplicação é o número que, quando multiplicado por qualquer outro, mantém-se ele próprio inalterado. Esse conceito não foi introduzido até o século IX, pelo matemático indiano Mahavira.

Mesmo depois do desenvolvimento de um sistema numérico utilizável, passariam-se muitos séculos até que as pessoas reconhecessem adição, subtração, multiplicação e divisão como as operações aritméticas fundamentais — e, lentamente, percebessem que certos símbolos convenientes poderiam facilitar bastante sua manipulação.”

Em: O andar do bêbado: como o acaso determina nossas vidas, Leonard Mlodinow, tradução Diego Alfaro, Rio de Janeiro, Zahar: 2009, p. 44-45





A solidão dos números primos, de Paolo Giordano

3 02 2010

 

Há tempos eu não lia compulsivamente.  Em geral leio de dois a três livros simultaneamente, mas confesso que no mês de janeiro houve duas narrativas, completamente distantes uma da outra que não me deixaram dividir meu tempo livre com qualquer outra história.  Foram leituras sedutoras do início ao fim e que pediram e ganharam a minha total atenção enquanto leitora:  O tigre branco, de Aravind Adiga [Nova Fronteira: 2008] e A solidão dos números primos de Paolo Giordano [Rocco: 2008].  Hoje vou me concentrar no livro italiano.

Eu não teria acreditado, se me dissessem, que eu iria me interessar, que iria ler apaixonadamente, um romance que tratasse das vidas de pessoas muito complexas,  que carregavam traumas da infância.  Pessoas que cresceram no meio de famílias ineptas, que não conseguiam lhes dar atenção.  Famílias, pais, que  não notam  as  carências dos filhos, que os deixam sofrer distúrbios emocionais.  Essa descrição dos dois principais personagens de A solidão dos números primos, Alice e Mattia, teria simplesmente feito com que eu fechasse o livro e dito: Não sei se me encontro num momento emocional para ler sobre este tipo de tragédia Ando a procura de uma história mais branda…  Que erro eu teria cometido!  Porque não teria sido apresentada a esta história maravilhosa, a este livro sedutor.

Mas aí entra a arte deste recém descoberto escritor, Paolo Giordano.  Sua primeira profissão é a física. É formado em Física pela Universidade de Turim, onde ganhou uma bolsa de doutoramento em Física de Partículas. A segunda profissão, só agora começada, é a de escritor.  Não sei se uma tomará a frente da outra.  Numa entrevista à revista Elle, o escritor, que foi agraciado com o maior prêmio literário da Itália, o Prêmio Strega, em 2008,  por este primeiro romance, com o qual também recebeu uma menção honrosa do Prêmio Campiello no mesmo ano,  garante que gosta mais de escrever.  Espero que sim, pois revelou uma voz única e bem sucedida. 

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Parte do sucesso dessa narrativa vem da revelação, muito bem descrita, dos sentimentos de inadequação dos adolescentes, sentimentos que serão permanentes em cada um dos protagonistas.  Alice e Mattia têm essa inadequação elevadíssima: conseqüência do sofrimento físico ou psicológico sofrido por cada um na infância.  Vivem em extrema solidão, mesmo sendo membros de famílias confortavelmente estabelecidas na classe média.  Acompanhamos suas vidas de 1983 a 2007.  Enquanto Mattia, que tem o perfil de um gênio, se refugia na matemática, onde consegue se realizar – porque nela sentimentos não são necessários; Alice encontra abrigo na anorexia, onde se sente confortável emocionalmente, habituada que está à ausência dos alimentos emotivos de que sua alma, seu espírito, precisa.  Ambos são ímpares em seus respectivos casulos emocionais e é exatamente isso o que os aproxima e o que nos aproxima dos personagens. 

Fato é que  conhecemos estes personagens.  Se não são nossos filhos, irmãos, primos ou sobrinhos, estão no círculo de amigos, amigos de amigos, filhos de amigos, companheiros com quem nos relacionamos.  Reconhecemos alguém próximo e com a narrativa sedutora, rápida e contemporânea de Paolo Giordano seria difícil não nos aproximarmos emocionalmente, não acharmos Alice e Mattia fascinantes.

Paolo Giordano

Dizer que a matemática tem poesia é lugar comum.  Mostrá-la é único!  Neste livro a matemática é usada como metáfora, magistralmente: Os números primos são divisíveis apenas por um e por si mesmos.  Estão em seus lugares na série infinita dos números naturais, comprimidos entre dois, como todos, mas um passo adiante em relação aos outros.  São números suspeitos e solitários, e por isso Mattia os achava maravilhosos.  E nas mãos hábeis de Paolo Giordano, nós também achamos os números primos maravilhosos. 

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Leia.  Não se arrependerá!





Meninas: maior igualdade, melhor em matemática

9 01 2010

Um estudo realizado nos EUA mostra que, em países onde há mais igualdade entre os sexos, as meninas tendem a ter um melhor desempenho em matemática do que os meninos – apesar de terem menos confiança do que eles na matéria.

A pesquisa, realizada em três universidades americanas e publicada na revista da Associação Americana de Psicologia, mostra ainda que a falta de confiança das meninas em suas habilidades, no mundo inteiro, pode explicar por que elas acabam optando menos por carreiras em ciência, tecnologia, engenharia e matemática.  “Estereótipos sobre inferioridade feminina em matemática são um contraste claro com os verdadeiros dados científicos“, disse Nicole Else-Quest, professora de psicologia da Villanova University e principal autora do estudo.

Nossos resultados mostram que as meninas obtêm os mesmos resultados que os meninos quando recebem as ferramentas educacionais corretas e têm modelos de mulheres que fazem sucesso na carreira científica.”  Else-Quest e sua equipe analisaram dados de dois estudos internacionais que, juntos, englobam mais de 493 mil estudantes entre 14 e 16 anos, em 69 países.

Um estudo se concentra no conhecimento geral do aluno sobre matemática, e o outro avalia a habilidade de cada um de usar suas habilidades matemáticas no mundo real, além de verificarem o nível de confiança do estudante e o quanto acreditavam que saber matemática seria importante em suas carreiras.    Segundo os cientistas, os resultados apresentavam poucas diferenças em relação ao sexo do aluno, mas havia muitas variações entre meninos e meninas de país para país.

Os pesquisadores também perceberam que, em países onde o nível da educação das mulheres e seu envolvimento político era melhor, as meninas tendiam a ter um melhor desempenho em matemática.   “Esta análise nos mostra que, enquanto a qualidade da educação e o currículo afetam o aprendizado das crianças, também pesam o valor que escolas, professores e pais dão a ele. As meninas podem ter um desempenho igual ao dos meninos se forem incentivadas“, afirmou Else-Quest.

Fonte: Terra





E você? O que sabe sobre o “erro de Aristóteles”?

7 01 2010
Ilustração, Walt Disney.  Pato Donald estuda matemática.

Há mais de 2.300 anos, Aristóteles errou.  Agora, no ano passado, um turbilhão de atividades acadêmicas está de repente se aproximando de uma resposta para um problema similar à pergunta de quantas pessoas cabem em um fusca da Volkswagen ou em uma cabine telefônica.  Com a diferença de que, nesse caso, os matemáticos não têm pensado no agrupamento de pessoas, mas de sólidos geométricos conhecidos como tetraedros.

É extraordinária a quantidade de artigos escritos sobre isso no ano passado“, disse Henry Cohn, matemático da Microsoft Research New England. O tetraedro é um objeto simples de quatro lados, cada um, um triângulo. Para o problema do agrupamento, pesquisadores estão observando os chamados tetraedros regulares, cujos lados são idênticos a um triângulo equilátero. Jogadores de Dungeons & Dragons reconhecem esse formato triangular de pirâmide em um dado usado no jogo.

Aristóteles equivocadamente acreditava que tetraedros regulares idênticos agrupados perfeitamente, como cubos idênticos, não deixavam espaços entre eles, preenchendo 100% do espaço disponível. Mas não é o que acontece, e 1,8 mil anos se passaram para que alguém apontasse que ele estava errado. Mesmo depois disso, o agrupamento de tetraedros atraiu pouco interesse. Mais séculos se passaram.

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Aristóteles equivocadamente acreditava que tetraedros regulares idênticos agrupados perfeitamente, como cubos idênticos, não deixavam espaços entre eles, preenchendo 100% do espaço disponível.

Um enigma similar sobre qual a melhor forma de agrupar esferas idênticas possui uma história mais célebre.   Aqui, a resposta era óbvia.  Elas devem ser empilhadas como laranjas no supermercado (com uma densidade de agrupamento de 74%), e foi isso que Johannes Kepler conjecturou em 1611.   Mas provar o óbvio levou quase quatro séculos, até Thomas C. Hales, um matemático da Universidade de Pittsburgh, conseguir esse feito em 1998 com a ajuda de um computador.

Com os tetraedros, o melhor arranjo de agrupamento não é óbvio, e depois de ter sido constatado que os tetraedros não se agrupavam perfeitamente, ficou a impressão de que eles não se agrupavam bem de maneira alguma. Em 2006, dois pesquisadores da Universidade de Princeton, Salvatore Torquato, um químico, e John H. Conway, um matemático, relataram que a melhor forma de agrupamento encontrada por eles preenchia menos de 72% do espaço – um agrupamento mais espaçado do que o das esferas.

Isso contestava a conjectura matemática de que, entre os chamados objetos convexos (sem cavidades, buracos ou orifícios), as esferas teriam o agrupamento ideal mais espaçado.

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Aristóteles contemplando o busto de Homero, 1653

Rembrandt van Rijn (Holanda, 1606-1669)

Óleo sobre tela,  143,5 x 136,5 cm

The Metropolitan Museum of Art, NY

O artigo de Princeton levou Paul M. Chaikin, professor de física da Universidade de Nova York, a comprar centenas de dados tetraedros e pedir a um aluno do ensino médio que enchesse aquários de peixes e outros recipientes com eles. “Imediatamente, percebemos que conseguíamos um agrupamento maior do que 72%“, disse Chaikin, que havia trabalhado anteriormente com Torquato no agrupamento de esferas achatadas, ou elipsóides. (Descobriu-se que as esferas achatadas têm um agrupamento mais denso do que as esferas regulares.)

O artigo de Princeton também levou Jeffrey C. Lagarias, professor de matemática da Universidade de Michigan, a pedir que Elizabeth Chen, uma de suas alunas de mestrado, estudasse o agrupamento de tetraedros. Chen se recorda do que Lagarias lhe disse: “Você precisa superá-los. Se você superá-los, será muito bom para você.

Chen examinou centenas de arranjos ao longo das semanas subsequentes, e, ela disse, “vários deles se destacaram pela alta densidade.” Seu melhor arranjo facilmente superou o de Conway e Torquato, com uma densidade de agrupamento de quase 78%, superior ao das esferas.

Na verdade, nem meu orientador acreditou em mim”, Chen se lembra. Depois de produzir modelos físicos dos tetraedros e demonstrar os padrões de agrupamento, ela convenceu Lagarias de que seus agrupamentos eram tão densos quanto ela havia afirmado e finalmente publicou sua descoberta há um ano.

Enquanto isso, Sharon C. Glotzer, professora de engenharia química, também da Universidade de Michigan, estava interessada em descobrir se os tetraedros podiam se agrupar como cristais líquidos. “Nos envolvemos nisso porque estávamos tentando desenvolver novos materiais com propriedades ópticas interessantes para a Força Aérea“, ela disse.

Glotzer e seus colegas criaram um programa de computador que simulava o agrupamento dos tetraedros e seu arranjo sob compressão. Em vez de cristais líquidos, eles descobriram estruturas complexas de quasicristais, com padrões quase, mas não exatamente, repetidos. “Essa foi a coisa mais surpreendente e maluca“, Glotzer disse.

Examinando os quasicristais, eles conseguiram encontrar uma estrutura periódica que representou outro salto na densidade de agrupamento: superior a 85%. No mês passado, quando essa descoberta ficou pronta para publicação na revista Nature, um grupo da Universidade Cornell, usando um método de pesquisa diferente, encontrou outro agrupamento com densidade similar.

Mas enquanto a estrutura de Glotzer era surpreendentemente complexa “um padrão de repetição formado por 82 tetraedros “, o cristal da Cornell era surpreendentemente simples, com apenas quatro elementos. Também é surpreendente para os pesquisadores o fato dos tetraedros nas simulações de Glotzer tenderem a estruturas complexas de quasicristais quando o melhor agrupamento é na verdade uma estrutura muito mais simples.

Isso faz parte da surpresa em relação a isso“, disse Cohn, da Microsoft Research. “Cada um desses agrupamentos parece muito diferente.” Alguns dias antes do Natal, Torquato e Yang Jiao, aluno de mestrado, relataram que haviam ajustado a estrutura da Cornell, aumentando ligeiramente a densidade de agrupamento para 85,55%.

Ficaria chocado se esse agrupamento atual fosse o mais denso“, Torquato disse em entrevista na semana passada. “Ele é apenas o mais denso por enquanto.”

Torquato não precisa ficar chocado. Na segunda-feira, Chen, aluna de mestrado da Universidade de Michigan, divulgou um novo avanço, que descreve uma família de agrupamentos que incluem as últimas estruturas de Cornell e Princeton. Mas ele também inclui um melhor agrupamento. O cálculo foi verificado por simulações do grupo de Glotzer. O novo recorde mundial de densidade de agrupamento de tetraedros: 85,63%.

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Tradução: Amy Traduções

Artigo original no The New York Times.  Em português:  Terra





Eu sei ler, poesia infantil de Martins D’ Alvarez

22 05 2009

escola, ilustração de Diva de Val GolfieriEscola: pintura à óleo de Diva do Val Golfieri (Brasil, contemporânea)

 

Eu sei ler

                                         Martins D’ Alvarez

 

Eu sei ler corretamente,

faço contas de somar,

sou batuta em dividir,

gosto de multiplicar.

 

Quando a professora escreve

no quadro-negro da escola,

leio até de olhos fechados:

“Paulo corre atrás da bola.”

 

Pra somar uma banana

com mais duas e mais três,

vou comendo e vou somando

1 mais 2 mais 3 são 6.

 

Pra dividir três pães

comigo e com meu irmão?

Eu sou o maior, ganho dois.

Para ele basta um pão.

 

Se mamãe me dá um doce

na hora de merendar,

acabo comendo três.

Como eu sei multiplicar!

 

Em: Vamos estudar? – cartilha — de Theobaldo Miranda Santos, Rio de Janeiro, Agir: 1961 [Para a aprendizagem simultânea da leitura e da escrita].

 

José Martins D’Alvarez   (CE 1904)  Poeta, romancista, jornalista, diplomado em Farmacia e Odontologia, professor, membro da Academia Cearense de Letras. Nasceu na cidade de Barbalha, Estado do Ceara, em 14 de setembro de 1904.  Filho de Antonio Martins de Jesus a de Antonia Leite da Cruz Martins. Fez os estudos primários na sua cidade natal, os secundários, no Liceu do Ceará.  Depois de formado em Odontologia. Transferiu em 1938 sua residência para o Rio de Janeiro, onde exerceu, além de atividades na imprensa, atividades no magistério superior.

 

 

 

Obras:

 

“Choro verde: a ronda das horas verdes”, 1930 (versos).

“Quarta-feira de cinzas”, 1932 (novela).

 “Vitral”, 1934 (poemas).

“Morro do moinho” 1937 (romance)

“O Norte Canta”, 1941 (poesia popular).

“No Mundo da Lua”, 1942 (poesia para crianças).

“Chama infinita, 1949 (poesias)

“O nordeste que o sul não conhece 1953 (ensaio)

“Ritmos e legendas” 1959 (poesias escolhidas)

“Roteiro sentimental: geopolítica do Brasil” 1967 (poesias escolhidas)

“Poesia do cotidiano”, 1977 (poesias)

 

 

 

 

 

Outros poemas de Martins d’Alvarez neste blog:

 

 

ANJO BOM ; AMIGOS ; JOÃO E MARIA ; SÚPLICA





Pesquisa relaciona soma e subtração com movimento dos olhos

7 05 2009

aritimetica, ilustração da Margarita  Philosophica, 1503, Boetius, romano, (475-524)e Pitagoras, grego, (570 BC-475BC) II

 

Ilustração: Margarita Philosophica, 1503, à esquerda o matemático romano Boethius (475-524), à direita o matemático grego, Pitágoras (570 AC- 475AC).

 

Isso indica que cálculo mental ‘recicla’ antigo sistema neuronal, originariamente dedicado ao espaço físico.  O processo mental de somar e subtrair utiliza o mesmo circuito cerebral que controla o movimento dos olhos para a direita ou a esquerda, segundo pesquisadores franceses.

 

A descoberta indica que o cálculo mental “recicla” um antigo sistema neuronal, originariamente dedicado a visualizar e compreender o espaço físico, para poder realizar esta tarefa mais complicada.  A explicação neurobiológica é que atividades como a escrita e a matemática são recentes demais para que a seleção natural dedique mecanismos cerebrais específicos, afirma um estudo publicado nesta quinta-feira, 7, na revista Science.

 

André Knops, do Instituto Nacional da Saúde e da Pesquisa Médica da França, e cientistas utilizaram dados de ressonâncias magnéticas para ensinar um software a prever a direção da movimentação do olhar de várias pessoas, para a direita ou a esquerda, com base na atividade neuronal do cérebro.

 

Os pesquisadores pediram aos indivíduos para realizar cálculos mentais – somas ou subtrações -, e comprovaram que o programa podia prever que exercícios tinham realizado, só com base no registro da atividade cerebral.

 

As pessoas estudadas pelo computador resolveram os problemas matemáticos usando números e outros símbolos e conjuntos de pontos, mas, em todos os casos, o movimento do olho para a direita foi relacionado com a soma, enquanto para a esquerda significava subtração.

 

abacus jillian tamaki

Abacus, Ilustração de Jillian Tamaki ( Canada)

 

 

A exceção foram os participantes árabes, que leem da direita para a esquerda tanto números quanto palavras, e nos quais aconteceu o contrário, disse Knops.  O estudo confirma que o desenvolvimento da matemática nos humanos não provém de uma nova parte “matemática” do cérebro, mas usa uma já existente para codificar as operações aritméticas.   Neste caso, o circuito que já tinha sido desenvolvido para os movimentos espaciais à esquerda e à direita demonstrou ser adequado para subtrair e somar números.

Os resultados da pesquisa podem servir para adaptar melhor a aprendizagem da matemática às características dos processos mentais implicados, acrescentou.

 

No entanto, segundo o cientista, já há provas sólidas de que pelo menos a divisão e a multiplicação dependem de diferentes tipos de representação que não estão tão ligados à dimensão esquerda-direita.

 

Neste caso, parece desempenhar um papel mais importante recorrer a dados pertencentes à memória de longo prazo“, explicou.

 

O ESTADO DE SÃO PAULO








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